Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Dimension d’un espace de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée. | |
Dimension d’un espace de dimension finie. | Dimension de $\mathbb{K}^n$, de $\mathbb{K}_n[X]$, de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Dimension de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1, de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants, de l’espace des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants. |
Dans un espace de dimension $n$, caractérisation des bases comme familles libres ou génératrices de $n$ vecteurs. | |
Rang d’une famille finie de vecteurs. | Notation $\operatorname{rg}(x_1,\dots,x_n)$. |
Comptage de paramètres d'un MLP
On considère un réseau de neurones entièrement connecté avec une entrée de dimension \(3\), une couche cachée de ...
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1001
Soit \(n \in { \Nn}\) et \(E={ \Rr}_{n}[X]\), l’espace vectoriel des polynômes à ...
exo7 1006
Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...
exo7 1008
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les polynômes ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1014
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...
exo7 1019
On considère, dans \({\Rr}^4\), les vecteurs : ...
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1031
Soient \(E_{0},E_{1},...,E_{n}\) \(n+1\) espaces vectoriels sur un même corps com ...
exo7 1039
Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1065
Discuter suivant les valeurs de \(\lambda \in \Rr\) le rang de la matrice ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1970
Soit \(E\) un espace affine de dimension \(n,\) et ...
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3169
Soit \(P \in { K[X]}\) de degré \(n\). Démontrer que la ...
exo7 3170
Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3436
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3437
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3643
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5183
\(E\) désigne l’espace vectoriel \(\Rr^4\) (muni des opérations usuelles). On con ...