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Montrez que \(d(x,y)=|x-y|\) est bien une distance sur l’ensemble des réels.

Décrire la boule de centre l’origine et de rayon \(1\) dans les espaces suivants:

Soient \(||.||_1\) et \(||.||_2\) deux normes sur ...

Dans un espace normé \(({\cal F} , N)\), on considére l’application ...

Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...

On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...

Sur l’espace \(\R^n\), définir une distance \(d\), telle que ...

Un segment AB de longueur \(l\) se déplace dans le plan de façon que le point A reste constamment sur ...

Dans le plan euclidien \(\R^2\), donner des équations paramétriques pour une droite ; un cercle ; une ellipse ; un ...

Épicycloı̈des, hypocycloı̈des -
Soit \(R >0\) un réel, et ...

Montrer que la courbe de l’espace d’équations paramétriques ...

Hélice -
Étudier la courbe paramétrée de l’espace définie par ...

Loxodromie de sphère -
On considère la courbe paramétrique de l’espace définie par ...

Montrer qu’un cercle \(C\) de diamètre \(a\) et passant par le pôle ...

Étudier en fonction des paramètres \(a, b >0\) les courbes d’équation ...

Étudier et tracer les courbes définies en coordonnées

polaires ci-après; s’il y a des branches infinies, les

préciser, et préciser la ...

Une spirale logarithmique est une courbe d’équation en coordonnées polaires ...

Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...

Étudier la courbe définie par \[\theta = t-2\sin t, \qquad \rho =\tan t\] Trouver asymptotes et points doubles. ...

En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...

Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?

Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...

Soient \(u,v \in \C\) tels que \(u+v \ne 0\). On pose ...

On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...

Étudier la liberté des familles suivantes :

On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.

Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...

Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...

Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...

Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...

Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...

Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...

Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...

Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...

Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :

Trouver une base orthonormée de \(\R_3[X]\) pour le produit scalaire : ...

Soit \(E = \R_2[X]\) muni du produit scalaire : ...

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : ...

Soit \(E\) un espace euclidien.

On munit \(E = \R_n[X]\) du produit scalaire : Pour \(P = \sum_i a_iX^i\) et ...

On munit \(\R^n\) du produit scalaire usuel. Soit ...

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...

Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(u \in \mathcal{L}(E)\) et ...

Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...

Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.

Existe-t-il ...

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). Montrer que \(\det(^tAA) \ge 0\).