Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Séries à termes positifs ou nuls
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Si $0\leqslant u_n\leqslant v_n$ pour tout $n$, la convergence de $\sum v_n$ implique celle de $\sum u_n$. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont positives et si $u_n\sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | |
Si $f$ est monotone, encadrement des sommes partielles de $\sum f(n)$ à l’aide de la méthode des rectangles. Séries de Riemann. | Application à l’étude de sommes partielles. |
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Convergence de séries
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{3}{4^n}\) est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette ...
Critère de D'Alembert
On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : ...
Domaine de convergence de séries sentières
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Etude d'une série entière
Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1735
Soit ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1932
Etudier la série de terme général ...
exo7 1933
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1939
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1942
Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...
exo7 1943
Soient \(\sum_{n \ge 0} u_n\), \(\sum_{n \ge 0} v_n\) deux séries à termes réels ...
exo7 1944
En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories
GD: cel ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2723
Soit \((a_n)\) un suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) conv ...
exo7 2724
Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2726
En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...
exo7 2872
Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4416
Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4419
Soient \(\sum u_n\), \(\sum v_n\), \(\sum w_n\) ...
exo7 4420
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4422
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...
exo7 4423
L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...
exo7 4424
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...
exo7 4425
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...
exo7 4426
Pour \(n \in \N^*\) on note \(p_n\) le nombre de chiffres de l’écriture décimale ...
exo7 4427
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...
exo7 4428
Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).
exo7 4430
Calculer les sommes des séries suivantes :
exo7 4431
Convergence et somme de la série de terme général ...
exo7 4434
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...