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Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).

On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...

On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...

On pose, pour \(x\) réel, ...

Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...

Soit \(f:\R \to \R\) continue. On pose ...

Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...

Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :

Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi]}\) tel que ...

Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...

On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).

Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...

Montrer, pour \(x>1\) : ...

Soit \(\alpha\in{]0,\frac\pi2[}\) et \(\lambda\in\R\). Chercher un équivalent pou ...

Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...

Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...

Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...

Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).

En calculant ...

Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.

Chercher ...

Pour \(n \in \N\) on pose ...

On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...

Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...

Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a ...

Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).

Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : ...

Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)

A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...

Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).

Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).

On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;

...

Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...

Calculer la longueur totale des courbes suivantes :

Existence et calcul de \(\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).

Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).

Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...

Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe ...

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...

Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...

Limites de ...

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...

On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...