Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 2 – Intégrales généralisées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Convergence d’une intégrale généralisée (ou impropre) d’une fonction continue sur un intervalle $I$ semi-ouvert ou ouvert. | La convergence est traduite en termes de limites portant sur une primitive. La terminologie de « fonction intégrable » n’est pas donnée. Les notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pourront, selon le contexte, désigner l’intégrale généralisée ou sa valeur. |
Cas d’une fonction définie sur un intervalle et continue sur cet intervalle sauf éventuellement en un nombre fini de points. | Cas particulier d’une fonction prolongeable par continuité en un point. |
Propriétés des intégrales convergentes : linéarité, relation de Chasles, positivité, stricte positivité ($f$ positive non nulle), croissance. | La démonstration de la stricte positivité n’est pas exigible. |
Adaptation de l’intégration par parties aux intégrales généralisées. | On souligne la nécessité de confirmer la convergence de tous les termes apparaissant dans une telle formule. |
Adaptation de la formule de changement de variable pour les intégrales généralisées. | Si la fonction $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et strictement monotone sur un intervalle d’extrémités $a$ et $b$ ayant des limites $\alpha=\lim_a\varphi$ et $\beta=\lim_b\varphi$ et si $f$ est continue sur l’intervalle d’extrémités $\alpha$ et $\beta$, alors les intégrales $\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et ont la même valeur lorsqu’elles convergent. |
Cas des fonctions paires ou impaires. | |
Théorèmes de convergence pour deux fonctions positives $f$ et $g$ : • théorème par comparaison si $f\leq g$, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $f(x)\underset{x\to b}{\sim}g(x)$, alors les intégrales généralisées en $b$ $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature. | Tout résultat sur la nature des intégrales de Riemann devra être démontré. |
Convergence absolue d’une intégrale généralisée. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de l’intégrale. Les intégrales semi-convergentes sont hors programme. |
L’intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ converge et vaut $\sqrt{2\pi}$. | La valeur de cette intégrale est un résultat admis. |
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4358
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4364
Existence et continuité de ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4368
Soit \(\alpha>0\).
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4378
Soit \(I(a) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{\sh x}xe^{-ax}\,d x\).
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4385
Calculer \(\iiint_D \frac{d x\,d y\,d z}{(1+x^2z^2)(1+y^2z^2)}\) avec ...
exo7 4391
Calculer \(A = \iint_{0\le y\le x\le 1}^{} \frac{d xd y}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4443
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4558
On pose pour \(x\in\R\) : ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5715
(Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes :
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5719
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt\) (en écrivant ...
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5724
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à val ...
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5727
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.