Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Algèbre linéaire 3 – Valeurs propres, vecteurs propres
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Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3579
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3587
Soit \((u_n)\) une suite réelle vérifiant l’équation de récurrence : ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3600
Soit \(M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)\) diagonalisable avec ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3613
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3618
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...