Programme de mathématiques MP, MPI
c) Intégration sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux sur un segment de $\mathbb{R}$. | Notations $\displaystyle\int_{[a,b]}f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité de l’intégrale. Relation de Chasles. Pour $L$ linéaire, intégrale de $L(f)$. Inégalité triangulaire $\displaystyle\Big\lVert\int_a^b f\Big\rVert\leqslant\int_a^b\lVert f\rVert$. Sommes de Riemann associées à une subdivision régulière. |
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1927
On pose \(I= \displaystyle{\int _\Rr e^\frac{-t^2}{2}dt }\) et ...
exo7 1928
On note \(D\) le domaine délimité par les droites \(x=0,\) ...
exo7 2073
Soient \(a,b\) des nombres tels que \(0<a<b\) et soit ...
exo7 2074
Soit le champ de vecteurs \({\vec{V}} : {\Rr^2} \to {\Rr^2}\), ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2487
Soit \(C\) une courbe fermée du plan, et \(P\) et ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4080
Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4233
Pour \(x \in \R,\ x \ne \pm1\), on pose ...
exo7 4257
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue. Montrer que ...
exo7 4337
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...
exo7 4340
On pose \(\varphi(x) = \int_{t=0}^1 e^{-x/t}\,d t\).
exo7 4342
On pose pour \(x \ge 0\) : ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4367
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4369
Étudier la limite en \(0+\) de ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4378
Soit \(I(a) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{\sh x}xe^{-ax}\,d x\).
exo7 4380
Soit \(P\in \C[X]\) de degré \(n\ge 1\). Le but de cet exercice est de prouver qu ...
exo7 4384
Calculer \(\iiint_D^{} f(x,y,z)\,d xd yd z\) :
exo7 4391
Calculer \(A = \iint_{0\le y\le x\le 1}^{} \frac{d xd y}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
exo7 4399
On coupe une demi-boule par un plan \(P\) parallèle à sa base. Quelle doit être la position de ...
exo7 4544
Décomposer en éléments simples sur \(\C\) la fractions rationnelle : ...
exo7 4563
Soient \(A,B\in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que : ...
exo7 4644
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5770
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 6210
Soit \(E=\Rr^n\) muni de sa norme euclidienne et \(f\) une application continue d ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6881
En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer \(I= \iint_{\mathcal{D}} xydxdy\) où ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...