Programme de mathématiques MP, MPI
Intégration sur un intervalle quelconque
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
L’objectif de cette section est triple :
- définir, dans le cadre restreint des fonctions continues par morceaux, les notions d’intégrale convergente et d’intégrabilité sur un intervalle non compact ;
- donner des outils efficaces de passage à la limite sous l’intégrale, en particulier le théorème de convergence dominée ;
- compléter l’étude des séries de fonctions par celle des intégrales à paramètre.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie donc les exemples significatifs : transformées intégrales (Fourier, Laplace), intégrales eulériennes...
On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l’intégration par parties ou le changement de variable, on n’impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des énoncés. De même, dans l’application des théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d’intégration.
Les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb{K}$, corps des nombres réels ou des nombres complexes.
- a) Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 3
- b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 82
- c) Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque 3
- d) Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables 0
- e) Intégration des relations de comparaison 34
- f) Convergence dominée 25
- g) Intégration terme à terme 0
- h) Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre 0
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1286
Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1289
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1290
Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...
exo7 1292
Soit \(f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+}\) continue telle que ...
exo7 1295
Montrer que si \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) est uniformément continue, alors ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1298
Convergence et calcul de : ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1302
Soit \(f\in C({\Rr},{\Rr})\) telle que \(\int_{-\infty }^{\infty }f\) existe, mon ...
exo7 1914
Soient \(a,b>0\). Calculer l’aire de l’ellipse ...
exo7 1916
Soient \(0<a\le b, 0<c\le d,\) et ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2331
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2339
Montrer la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4274
Soit \((a_k)\) une suite de réels telle que \(\sum_{k=0}^n a_k = 0\). Étudier la ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4305
Existence de \(\int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x\).
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...