Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Limite d’une fonction en un point
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Étant donné un point $a$ de $\overline{\mathbb{R}}$ appartenant à $I$ ou extrémité de $I$, limite finie ou infinie d’une fonction en $a$. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$. | Notations $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$, $\lim\limits_{x\to a} f(x)$. |
Limite à droite, limite à gauche. | Notations $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x>a}} f(x)$ ou $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$. |
Caractérisation séquentielle de la limite (finie ou infinie). Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition. Passage à la limite d’une inégalité large. Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$),par majoration (limite $-\infty$). Théorème de la limite monotone. |
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3948
Soit \(f : {[a,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(x) \to f(a)\) lorsque ...
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3956
On veut calculer \(\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}\).
exo7 3962
Soient \({u,v} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions telles que : ...
exo7 3973
Soit \(f:\R \to \R\) continue telle que \(\frac {f(2t)-f(t)}t \to a\) (si ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3988
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable telle que : \(f \ge 0\), ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4126
Soit \(F : {[a,b]\times \R} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que pour t ...
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4503
Soit \(\alpha \in \R\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour ...
exo7 4513
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour ...
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 5070
Calculer \(\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\) pour \(a\) élément don ...
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5382
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle définie et continue sur un voisinage de ...
exo7 5389
Etudier en chaque point de \(\Rr\) l’existence d’une limite à droite, à gauche, la continuité de la fonction ...
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5394
Soit \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) à valeurs dans ...
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5398
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) à valeurs dans ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5424
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5440
Étude au voisinage de \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\) (existenc ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 606
Écrire les définitions des limites suivantes : \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=l\), ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...