Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Systèmes linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Interprétation de l’ensemble des solutions d’un système homogène comme noyau d’une matrice. Rang d’un tel système, dimension de l’espace des solutions. | |
Le système $AX = B$ est compatible si et seulement si $B$ appartient à l’image de $A$. | Structure affine de l’ensemble des solutions. |
Si $A$ est carrée et inversible, le système $AX = B$ possède une unique solution. | Dans ce cas, le système est dit de Cramer. |
exo7 1044
Trouver les matrices qui commutent avec ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1069
\(A=\left( a_{i,j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\Rr)\) telle que : ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1164
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution : ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1166
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1168
Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), ...
exo7 1169
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\), \(a\), ...
exo7 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\) et \(a\) : ...
exo7 1173
Résoudre et discuter le système linéaire suivant : ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1179
Résoudre suivant les valeurs de \(a \in \Rr\) ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1188
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(A\) la ma ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1192
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant, en fonction de \(\alpha,a,b\) et ...
exo7 1597
Soit \(m \in \R\) et \(A_m\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2449
Calculer le rang de la matrice ...
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2463
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le système suivant admet des solutions différentes de ...
exo7 2464
Soit \(a, b\) deux réels différents. Montrer que le système linéaire ...
exo7 2479
On considère la matrice \(N\times N\) ...
exo7 2578
Soient \(a,b,c\) des réels vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\) et ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2733
Résoudre le système : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2735
Soit \(a\) un nombre réel. On étudie le système linéaire suivant : ...
exo7 2738
Soient \(a\), \(b\), et \(c\) trois nombres réel ...
exo7 2739
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 2770
Pour chaque couple de matrices \((A_i, b_i)\), \(1\leq i\leq 5\), ci-dessous
exo7 2772
On considère la matrice ...
exo7 2775
Calculer l’inverse de la matrice suivante : ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 3289
Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...