Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Procédés sommatoires discrets
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L’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
L’étude des familles sommables est menée dans un deuxième temps. On prolonge les calculs de sommes finies effectués en début d’année, en mettant en évidence un cadre permettant de sommer « en vrac » une famille infinie et procurant ainsi un grand confort de calcul. Dans le cas d’une famille positive, le calcul dans $[0, +\infty]$ se suffit à lui-même et contient l’étude de la sommabilité. Dans le cas d’une famille quelconque, il est préconisé de commencer par un calcul formel à justifier dans un second temps.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.
- a) Convergence et divergence 205
- b) Séries à termes positifs ou nuls 139
- c) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes 61
- d) Théorème des séries alternées 24
- e) Familles sommables de nombres réels positifs 5
- f) Familles sommables de nombres complexes 2
exo7 5732
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :
exo7 5734
Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 5757
On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5763
Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...
exo7 5775
On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 7544
Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).
exo7 7567
Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 840
Calculer : ...
exo7 841
Calculer : ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
Identification des coefficients d'une série entière
On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...
Loi géométrique
On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...
Nature de séries
Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...
Nature de séries
Étudier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geq n_0} u_n\) suivantes et préciser la somme de la série quan ...
QCM — Séries à termes positifs
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{n!}\,x^n.\] ...
Rayon et domaine de convergence d'une série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Règle de Raabe-Duhamel
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...
Série de référence
Pour tout \(n \in \N\), on pose \(u_n = \frac{5}{4^n}\).
Série télescopique
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
Série télescopique
Soit un entier \(k \geq 1\).
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Séries : vrai ou faux
Vrai ou Faux ? Justifier.
Séries : vrai ou faux
Vrai ou Faux ? Justifier.
Séries convergentes ou divergentes
Dire la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente pour les cas suivants :
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Séries de signe non constant
Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}\) ?
Séries divergentes
En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent :
Séries à termes réels positifs
Étudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes:
Une mesure aberrante et le choix de la perte
On relève les cinq couples \[(x_i,y_i)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,12).\] On hésite entre les deux modèles ...
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Vrai ou faux
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une justification, le cas échéant avec un contre exemple, est attendue. ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une suite récurrente et de son équivalent
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...