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Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).

Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...

Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...

Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout ...

Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...

Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...

Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...

Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre  ...

Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...

Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...

On considère la fonction \(f\) : ...

Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...

Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...

Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).

Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme)

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...

Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une suite de polynômes convergeant uniformément sur ...

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...

Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...

Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...

Montrer que ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...

Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Développer en série entière les fonctions suivantes :

Pour \(x\) réel, on pose ...

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...