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Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...

Soit \(n \in { \Nn}\) et \(E={ \Rr}_{n}[X]\), l’espace vectoriel des polynômes à ...

Soient ...

Soit \(E =\R^3\). On définit le système ...

Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...

Montrer que les systèmes \({\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)\) et ...

Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les polynômes ...

Etudier la liberté des familles

Les familles suivantes sont-elles génératrices ?

Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...

Donner la dimension du sous-espace \(F\) de \({\mathcal F}(\R,\R)\) engendré par ...

Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...

Soit \(F\) et \(G\) les sous-ensembles de ...

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...

La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...

Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.

Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...

Les familles suivantes sont-elles libres ?

On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...

Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...

Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...

Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...

On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...

Soit \(P \in { K[X]}\) de degré \(n\). Démontrer que la ...

Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...

Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...

On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...

Étudier la liberté des familles suivantes :

On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.

Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...

Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.

Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que pour tout ...

Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...

Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :

...

Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...

Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...

Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...

Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...

Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...

Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...

Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...

Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...

Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...

Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...

Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...

Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...