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Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.

Étudiez la suite de terme g ...

Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...

On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Calculer \(\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}\) en fonction de ...

On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...

Montrer que pour \(x\in\C\), \(|x|<1\), on a l’égalité : ...

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...

On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...

Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...

Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).

Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...

Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.

Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...

On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).

Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).

M ...

A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...

Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...

Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).

On considère la fonction \(f\) : ...

Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...

Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.

Calculer les sommes suivantes :

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...