Programme de mathématiques PSI
C - Fonctions de plusieurs variables
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Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ont été introduites en première année. L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de $p \geqslant 2$ variables.
L’étude d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$. Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas $p = 2$ ou $p = 3$.
- a) Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- b) Règle de la chaîne 4
- c) Gradient 103
- d) Applications géométriques 7
- e) Fonctions de classe $\mathscr{C}^2$ 2
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ 17
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2635
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles de sommes, produits ...
exo7 2637
Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2685
Dans \(\R^3\), soit \({\bf U}\) un champ vectoriel arbitraire, ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4115
Soit \(n>0\) et ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4172
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que ...
exo7 4177
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f : E \to E\) de classe ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5895
Soit ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 5905
Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en to ...
exo7 5907
Soit \(\omega=x^2dx+y^2dy\). Calculer l’intégrale de \(\omega\) le long de tout c ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6261
Soient \(E,F\) des espaces normés, \(\Omega\) un ouvert de ...
exo7 6289
Soit \(f:\Rr^n\to\Rr^n\) de classe \(C^2\) telle que, pour tout ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6298
Dans \(\Rr^n\), on pose ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6330
Soit \(f:\Rr^2\to R\), de classe \(C^2\), et ...
exo7 6362
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) d’un ouvert ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6779
Soit \(\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3\) la carte de la sphère \(S^2\) donné ...
exo7 6794
Soit \(f:\Rr^4 \to \Rr^2\) défini par ...