Programme de mathématiques PSI
b) Polynôme caractéristique
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. | Par convention le polynôme caractéristique est unitaire. Notations $\chi_A$, $\chi_u$. Coefficients de degrés $0$ et $n-1$. |
Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les racines de son polynôme caractéristique. | Spectre complexe d’une matrice carrée réelle. |
Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité. | Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités. |
Théorème de Cayley-Hamilton. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3500
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\).
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3525
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3529
Soient \(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n \in \C\). Calculer ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3532
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B = A^{-1}\), ...
exo7 3533
Soit \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1} - X^n \in K_n[X]\). La matrice compagnon de ...
exo7 3534
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3538
Soit l’application \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}\) Calculer sa trace par ...
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3562
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(\chi_A\) et ...
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3617
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), espace vectoriel de dimension ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...