Programme de mathématiques PT
a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Droite stable par un endomorphisme. | |
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme en dimension quelconque. | Équation aux éléments propres $f(x) = \lambda x$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | Notation $\operatorname{Sp}(f)$. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $AX = \lambda X$. Notation $\operatorname{Sp}(A)$. |
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3570
Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection et ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3613
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3615
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme cyclique et \(F\) un sous-espace v ...
exo7 3616
Un endomorphisme \(f\) est dit semi-simple si tout sous-espace stable par \(f\) a ...
exo7 3618
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...