Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1295
Montrer que si \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) est uniformément continue, alors ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1302
Soit \(f\in C({\Rr},{\Rr})\) telle que \(\int_{-\infty }^{\infty }f\) existe, mon ...
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1733
\(I\subset {\Rr}^{+*}\) un intervalle de ...
exo7 1737
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr }\) continue telle que : ...
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1803
Soit \(f : \R^{2} \rightarrow \R\), définie par ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...
exo7 1809
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles premières, des fonctions suivantes :
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1905
Soit \(f:\Rr\rightarrow\Rr\) continue. Soit \(x_0\in\Rr\). Soit ...
exo7 1906
Soit \(s_n=\Sigma_{k=1}^n1/k\) et \(x_n=\cos (s_n)\). Montrer qu’il n’existe pas ...
exo7 191
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = 2x/(1+x^2)\).
exo7 1955
Soit \(f: \Rr \rightarrow \Rr\) l’application ...
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2058
Soit \(\gamma :[0,1]\rightarrow \Cc\) continue, et \(z\in \Cc\) quelconque. Montr ...
exo7 2081
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,4]\) par ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2085
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) ( ...
exo7 2086
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...
exo7 2087
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...
exo7 2099
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2358
Soit \(f\) une fonction réelle continue sur \([0,1]\); montrer que ...