Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4348
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4352
Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi]}\) tel que ...
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4376
Soit \((f_n)_{n\in\N^*}\) une suite de fonctions définie par : ...
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 4407
Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...
exo7 4485
Trouver les fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) continues vérifiant : ...
exo7 4488
Soit \(f:\R \to \R\) croissante. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de ...
exo7 4489
Soit \((r_n)_{n\ge 1}\) une énumération des rationnels. On note ...
exo7 4503
Soit \(\alpha \in \R\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4513
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour ...
exo7 4517
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a ...
exo7 4519
Soient \({f_n} : D \to \R\) des fonctions continues convergeant vers une fonction continue ...
exo7 4520
Soit \(f_n\) convergeant uniformément vers \(f\), et ...