Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- ★ introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée et en établir les principales propriétés.★
exo7 1090
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \({\Rr}^2\) dans lui-même telle que ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1097
Soient trois vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) formant une base de \(\Rr^3\). On note ...
exo7 1098
Soit \(M_{\alpha , \beta }\) la matrice : ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1101
Soit ...
exo7 1103
Soit \(f \in \mathcal{L} (\Rr^3)\) de matrice ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1136
Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer que le déterminant ...
exo7 1138
Pour \((a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}\), on note \(A_{(a_{0}\dots a_{n})}\) la ma ...
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1142
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1153
Montrer que ...
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1161
Montrer que si \(n\in \Nn^{*}, A\in M_{n}({\Rr})\) : ...
exo7 1164
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution : ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1166
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1168
Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), ...
exo7 1169
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\), \(a\), ...
exo7 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\) et \(a\) : ...
exo7 1173
Résoudre et discuter le système linéaire suivant : ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1179
Résoudre suivant les valeurs de \(a \in \Rr\) ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1181
Inverser en utilisant un système linéaire la matrice ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).