Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices
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On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition d’une application linéaire de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$. | On pourra faire remarquer que certaines applications rencontrées dans d’autres chapitres (dérivation, intégration, espérance, applications du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même, etc.) possèdent aussi la propriété de linéarité, sans pour autant aller plus loin. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. Noyau, image. Lien avec : $f$ injective, $f$ surjective, $f$ bijective. Détermination d’une application linéaire par l’image des vecteurs d’une base. Matrice d’une application linéaire dans des bases. Matrice de la somme de deux applications linéaires, du produit par un scalaire d’une application linéaire, de la composée de deux applications linéaires, de l’application réciproque. | |
Rang d’une application linéaire. | On fait le lien entre les différentes notions de rang, vues à propos des systèmes, des familles de vecteurs, des matrices et des applications linéaires. |
Théorème du rang. | La démonstration n’est pas exigible. |
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
exo7 1021
Montrer que \({f} : {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 1022
Soit \(E\) un \(\Qq\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1023
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire \(f\) sur \(\Rr^2\) telle que ...
exo7 1026
Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer l’équivalence ...
exo7 1027
Soit \(E\) et \(F\) de dimensions finies et ...
exo7 1028
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1031
Soient \(E_{0},E_{1},...,E_{n}\) \(n+1\) espaces vectoriels sur un même corps com ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1035
Soit \((f,g)\in L(E,F)^{2}\) avec \(E,F\) de dimension finie. On suppose ...
exo7 1036
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f,g)\in L(E)^{2}\) avec ...
exo7 1081
Soit \(h\) l’homomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dans ...
exo7 1082
Soit \(h\) une application linéaire de rang \(r\), de ...
exo7 1083
On désigne par \(\mathcal{P}_2\) l’espace des polynômes sur \(\mathbb{R}\) de deg ...
exo7 1084
Soit \(f : \C \rightarrow \C\) l’application \(z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} .\) ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1086
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...
exo7 1087
Soit \(\Rr^2\) muni de la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})\). Soit ...
exo7 1089
Soient \(A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1090
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \({\Rr}^2\) dans lui-même telle que ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1097
Soient trois vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) formant une base de \(\Rr^3\). On note ...
exo7 1098
Soit \(M_{\alpha , \beta }\) la matrice : ...
exo7 1099
Soient ...
exo7 1101
Soit ...
exo7 1102
Même chose avec ...
exo7 1103
Soit \(f \in \mathcal{L} (\Rr^3)\) de matrice ...
exo7 1109
Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l’application \(\phi\) de ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1158
Soient \(n = 2\) ou \(3\) et \(A \in M_n (\Qq)\) ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1321
On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...
exo7 1355
Soient \(a,b\in\Cc\). L’application \(f:\Cc\to\Cc,z\mapsto iz-\overline{z}\) est- ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...