Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition d’une application linéaire de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$. | On pourra faire remarquer que certaines applications rencontrées dans d’autres chapitres (dérivation, intégration, espérance, applications du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même, etc.) possèdent aussi la propriété de linéarité, sans pour autant aller plus loin. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. Noyau, image. Lien avec : $f$ injective, $f$ surjective, $f$ bijective. Détermination d’une application linéaire par l’image des vecteurs d’une base. Matrice d’une application linéaire dans des bases. Matrice de la somme de deux applications linéaires, du produit par un scalaire d’une application linéaire, de la composée de deux applications linéaires, de l’application réciproque. | |
Rang d’une application linéaire. | On fait le lien entre les différentes notions de rang, vues à propos des systèmes, des familles de vecteurs, des matrices et des applications linéaires. |
Théorème du rang. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2433
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice par rapport à la base cano ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2449
Calculer le rang de la matrice ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2585
Soient \(A\) et \(B\) des matrices non nulles de ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 2744
Soit la matrice ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 2746
Soit la matrice ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2770
Pour chaque couple de matrices \((A_i, b_i)\), \(1\leq i\leq 5\), ci-dessous
exo7 2771
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire ...
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3383
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3478
Soit \(A \in \mathcal{M}_{2}(K)\). Chercher le rang de l’application ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3634
Soient \(f_1,\dots,f_n\) des formes linéaires sur \(K^n\) telles qu’il existe ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...