Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 3 – Espace vectoriel $\mathbb{K}^n$ et sous-espaces vectoriels
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On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$. L’espace vectoriel, comme objet général et abstrait, n’est formellement présenté qu’en seconde année.
Ce choix a pour ambition de donner aux étudiants une connaissance et une habitude « pratique » du calcul multidimensionnel qui confèrera à l’introduction de la notion générale d’espace vectoriel un arrière-plan concret. Le but est donc, en première année, de faire maitriser les concepts fondamentaux sans excès de technicité ni d’abstraction en centrant le travail sur le calcul matriciel et les systèmes linéaires. Le lien avec la géométrie est à faire en chaque occasion propice.
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3422
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 5165
On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5166
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel. Soient ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5168
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...
exo7 5169
Montrer que \(a=(1,2,3)\) et \(b=(2,-1,1)\) engendrent le même sous espace de ...
exo7 5172
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5176
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vecto ...
exo7 5178
Soient \(u=(1,1,...,1)\) et \(F=\mbox{Vect}(u)\) puis ...
exo7 5183
\(E\) désigne l’espace vectoriel \(\Rr^4\) (muni des opérations usuelles). On con ...
exo7 5184
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), \(E\) un ...
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5567
Montrer que \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille libre du \(\Qq\)-espace vec ...