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Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...

Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...

Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.

Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...

Soit \(f:\R \to \R\) dérivable.

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.

Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).

Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...

Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...

Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...

Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...

Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...

Soit \(f : {\R^{+*}} \to \R\) convexe et \(g : {\R^{+*}} \to \R\) affine. On su ...

Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...

Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...

Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...

\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...

On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...

Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...

Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...

Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...

Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).

Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).

Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).

Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).

...

Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...

On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).

Montrer, pour \(x>1\) : ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).

Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...

Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...

Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).

Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.

Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...

Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...

Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...

Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...

Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...

Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...

Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...

Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...

Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...

Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

On considère la fonction numérique \(f\) telle que :

...

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...

Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.

Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).