Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Applications linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire, endomorphisme, isomorphisme. Espaces isomorphes. | On introduit les notations $\mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{L}(E)$, mais leur étude n’est pas un attendu du programme. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. | Notation $f^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. |
Noyau. Lien avec l’injectivité. | On montre que le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. |
Image. Lien avec la surjectivité. | On montre que l’image est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée. |
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3634
Soient \(f_1,\dots,f_n\) des formes linéaires sur \(K^n\) telles qu’il existe ...
exo7 3643
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5633
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 7094
Soient \(D\) et \(D'\) deux droites. Soient ...
exo7 7272
Soit \(E\) un plan euclidien et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...