Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 1 – Séries réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Sommes partielles, convergence d’une série, somme d’une série convergente. | La série est notée $\sum\limits_{n\geq n_0} u_n$ ou plus succinctement $\sum u_n$. En cas de convergence, la somme de la série est notée $\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty} u_n$. La terminologie de « famille sommable » n’est pas donnée. La notion de reste d’une série est hors programme. |
Combinaison linéaire de séries convergentes. | |
Thèorèmes de convergence pour deux séries à termes positifs $u_n$ et $v_n$ : • théorème de comparaison si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | Les résultats relatifs aux restes et sommes partielles sont hors programme. |
Convergence et somme de la série géométrique $\sum\limits_{n\geq 0} q^n$ (pour $\lvert q\rvert<1$) et des séries « dérivées » $\sum\limits_{n\geq 1} nq^{n-1}$ et $\sum\limits_{n\geq 2} n(n-1)q^{n-2}$. | |
Convergence et somme de la série exponentielle $\sum\limits_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{n!}$. | Résultat admis. |
Convergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ et divergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}$. | L’étude générale des séries de Riemann est hors programme. |
Convergence absolue. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de la série. En vue des applications probabilistes, on admet que la valeur de la somme d’une série absolument convergente ne dépend pas de l’ordre d’énumération de ses termes. L’étude de séries semi-convergentes est hors programme. |
exo7 535
Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...
exo7 5688
Nature de la série de terme général
exo7 5689
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...
exo7 5690
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5692
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...
exo7 5693
Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...
exo7 5694
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5696
Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).
exo7 5697
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite positive telle que la série de terme général ...
exo7 5698
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...
exo7 5699
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...
exo7 5701
On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).
A partir de la série précédente, on cons ...
exo7 5702
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 5704
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5706
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5709
Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5711
Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5731
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}\).
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5867
On munit \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 605
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 841
Calculer : ...
Nature de séries
Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...
Nature de séries
Étudier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geq n_0} u_n\) suivantes et préciser la somme de la série quan ...
Rayon et domaine de convergence d'une série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Règle de Raabe-Duhamel
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...
Série de référence
Pour tout \(n \in \N\), on pose \(u_n = \frac{5}{4^n}\).
Série télescopique
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
Série télescopique
Soit un entier \(k \geq 1\).
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Séries : vrai ou faux
Vrai ou Faux ? Justifier.
Séries convergentes ou divergentes
Dire la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente pour les cas suivants :
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...