Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application différentiable au point $a$. | Notation $o(h)$. Développement limité à l’ordre 1. Lorsque $f=(f_1,\dots,f_p)$, $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si toutes les $f_i$ le sont. |
Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ et dérivable en $a$ selon tout vecteur. | |
Différentielle de $f$ en $a$, encore appelée application linéaire tangente à $f$ en $a$. Unicité de la différentielle et relation $\mathrm{d}f(a)\cdot v=\mathrm{D}_vf(a)$. | Notation $\mathrm{d}f(a)$. |
Application différentiable sur un ouvert $\Omega$. Différentielle sur $\Omega$. | Notation $\mathrm{d}f$. |
Cas particuliers : application constante, application linéaire. | |
Lien entre différentielle et dérivées partielles. | Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et si $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^m$, la matrice jacobienne de $f$ en $a$ est la matrice de $\mathrm{d}f(a)$ dans les bases canoniques. |
Cas des fonctions d’une variable : si $\Omega$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, la différentiabilité de $f$ en $a$ équivaut à la dérivabilité de $f$ en $a$ ; relation $f'(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot1$. | |
Si l’espace $E$ est euclidien, gradient en $a$ d’une application numérique différentiable en $a$. Expression du gradient en base orthonormée. | Notation $\nabla f(a)$. Interprétation géométrique : si $\nabla f(a)\neq0$, $\nabla f(a)$ est positivement colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de $f$ en $a$ est maximale. |
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Effet du taux d'apprentissage sur la descente de gradient
On se place dans la situation suivante : \(w = 3\), gradient \(= 4\).
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1802
Soit ...
exo7 1810
On définit la fonction ...
exo7 1812
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1813
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1814
Etudier la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1815
Etudier la différentiabilité en \((0,0)\) des fonctions définies par
exo7 1820
Calculer les différentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition :
exo7 1821
Calculer \(df\, (1,1)\), si \(f(x,y)=\frac{x}{y^2}\).
exo7 1822
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)\) à l’origine dans une direction form ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1857
Soient \(f:\R^n \to \R\) et \(g:\R^n \to \R\) deux fonctions différentiables. En ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 2075
Soit le champ de vecteurs \({\vec{V}}: {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 2079
Soit \(U = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / z>0\right\}\) et ...
exo7 2482
Calculer \[\oint_\Gamma (2xy^2+\sin z)\,dx + 2x^2y\,dy + x\cos z \,dz\] le long de la courbe ...
exo7 2486
Déduire de la formule générale de Stokes la formule de Green en deux dimensions : si \(\Omega\subset \R^2\) de bor ...
exo7 2490
Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et ...
exo7 2493
Soit \({\bf U} = (x/r^3, y/r^3, z/r^3)\) ; calculer directement ...
exo7 2503
Soit \(f\) une application \(f\) de \(E\) dans ...
exo7 2504
Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) e ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2506
Soit \(E^n\) l’espace des polynômes de degré \(\leq n\). Etudier la différentiabi ...
exo7 2507
Soit \(f\) une application différentiable de \(\Rr^2\) dans lui-même, propre (i.e ...
exo7 2508
Soit, dans \({\Rr^n}\), \(F\) un sous-espace fermé, et soit ...
exo7 2510
Soit \(\alpha >0\). Étudier la différientiabilité à l’origine de l’application ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2512
Soit \(X= {\cal C} ([0,1])\) muni de la norme uniforme et soit \(f\) une applicat ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2516
Dans un espace normé \(({\cal F} , N)\), on considére l’application ...
exo7 2517
Soit \({\cal E}\) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire ...
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...
exo7 2526
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 2553
Calculez \(D^2f(x)\) dans les cas suivants:
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2625
Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par ...
exo7 2628
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point \((x_0,y_0,z_0)\) donné: