Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
exo7 1194
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite bornée de nombres réels telle que ...
exo7 1488
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(F\) et ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1731
Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1742
Montrer que toute reunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections infinies d’ens ...
exo7 1744
Soit \(f:\R^n\rightarrow \R\) une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalent ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1747
Soit l’application ...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1755
On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...
exo7 1756
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...
exo7 1757
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\). On rappelle que la front ...
exo7 1758
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\).
exo7 1760
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...
exo7 1761
Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie.
Montrer que tout sous-espace vectoriel de ...
exo7 1762
Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soit \(A\) une partie non vide et bornée de ...
exo7 1763
Dans \(\R^2\) euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1766
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Pour toutes parties \(A\) et ...
exo7 1767
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Soit \((x_n)\) une suite conver ...
exo7 1768
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \((x_n)_{n\in\N}\) une suite ...
exo7 1769
Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...
exo7 1770
Soient \(k\in {\Rr}^{+*},\) ...
exo7 1771
Soit \(\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}\) une suite d’ensembles fermés bornés de ...
exo7 1772
Montrer que l’intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l’union de deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ...
exo7 1773
Soit \(E\subset {\Rr}^{2}\) un ensemble ; on pose ...
exo7 1774
Soit \(A\) une partie bornée de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1775
Soit \(C\) une partie convexe de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...
exo7 1776
Classer (pour l’inclusion) les parties : \(\overline{A\cap B}, \overline{A} \cap \overline{B}\) et ...
exo7 1777
Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?
...
exo7 1778
Soit \(E\) un evn (espace vectoriel normé). Soit \(A\) une partie de ...
exo7 1779
Soit \(E\) un evn, \(V\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1780
Représenter graphiquement les parties suivantes de \(\R^2\) et dire pour chacune d’elle si c’est un ouvert, un fer ...
exo7 1781
Déterminer l’adhérence de chacune des parties de \(\R\) suivantes :
exo7 1782
Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...
exo7 1783
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...
exo7 1784
Étudier l’existence des limites suivantes :
exo7 1786
Soit ...
exo7 1787
Déterminer les limites lorsqu’elles existent:
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :