Parcourir les exercices

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...

\(k\) est un entier impair. Montrer par récurrence que, pour \(n\geq1\), la somme ...

Pour \(n\geq1\), on pose \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\). Montrer que, pour ...

Montrer que pour \(n\in\Nn\), ...

Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...

Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.

Donner un exemple de suite \((u_n)\) divergente, telle que ...

Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.

Étudier la suite $(u_n)$ définie par~: $$u_n= \begin{cases} 0 & \text{ si } $n$ \text{ est premier }\cr 67+1/n & \text{ sinon }.\cr \end{cases}$$ ...

Montrer que \(\forall n\in\Zz,\;6|5n^3+n\).

Un entier de la forme \(8n+7\) ne peut pas être la somme de trois carrés parfaits.

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose \((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\) où ...

Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...

Soient \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\) et ...

Montrer que si \(p\) est premier et \(8p^2+1\) est premier alors ...

Montrer que \(\forall(k,n)\in(\Nn^*)^2,\;[k\wedge n=1\Rightarrow n|C_n^k]\).

Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) les équations ou systèmes d’équations suivants :

...

Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d’entiers consécutifs n’est jamais un carré parfait.

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(F_n=2^{2^n}+1\) (nombres de F ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...

On veut résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(x^2+y^2=z^2\) (de tels triplets d’en ...

Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) :  ...

Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...

Montrer que tout nombre impair non divisible par \(5\) admet un multiple qui ne s’écrit (en base ...

(Formule de Legendre) Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à ...

Soit \(p\) un nombre premier.

Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Montrer que :  ...

Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...

Soit \(P=\) où \(n\) est un entier naturel non ...

Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

(Théorème d’Euler) Soit \(n\in \N^*\) et \(a\in \Z^*\) premier avec ...

Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de \(\Z /4\Z\) à ...

Résoudre les congruences simultanées suivantes :

Montrer que deux congruences dans \(\Z\) de la forme ...

Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...

Soit \(P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\) un polynôme de degré \(n\ge 1\) à c ...

Montrer que pour tout entier \(n\) positif, l’entier \(10^n - (-1)^n\) est divisi ...

Démontrer que tout entier \(n\geq 1\) peut s’écrire de façon unique sous la forme ...

Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...

Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).

Déterminer les puissances de \(2\) modulo \(9\). Que dire du groupe ...

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...

Il est souvent important de calculer \(a^t\) modulo \(n\) avec ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...

Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...