Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Somme de deux sous-espaces
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme de deux sous-espaces. | |
Somme directe de deux sous-espaces. Caractérisation par l’intersection. | La somme $F + G$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F + G$ comme somme d’un élément de $F$ et d’un élément de $G$ est unique. |
Sous-espaces supplémentaires. | On incite les étudiants à se représenter des espaces supplémentaires par une figure en dimension 2 et 3. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1002
Soient ...
exo7 1003
Soient le triplet \({\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)\) et le triplet ...
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1015
Soit \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 1017
Soient \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et ...
exo7 1019
On considère, dans \({\Rr}^4\), les vecteurs : ...
exo7 1020
Soient \(E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}\) et ...
exo7 1026
Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer l’équivalence ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1035
Soit \((f,g)\in L(E,F)^{2}\) avec \(E,F\) de dimension finie. On suppose ...
exo7 1036
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f,g)\in L(E)^{2}\) avec ...
exo7 1037
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f_{1},...,f_{k})\) des p ...
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1490
Soit \(E\) un espace euclidien (de dimension finie), \(F\) et ...
exo7 1651
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une application ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2428
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F, G\) deux sous-espaces de ...
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3306
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...
exo7 3310
Soient \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(f\circ g \circ f = f\) et ...
exo7 3311
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).
exo7 3313
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3322
Soient \(H,K\) deux sev d’un ev \(E\) de dimension finie. Montrer que ...
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3333
Soient \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3383
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3488
Soient \(p,q\) deux projections. Montrer les équivalences :
...
exo7 3491
Soient \(p,q\) deux projections telles que \(p \circ q = 0\). Montrer que ...
exo7 3494
Soit \(E = K^3\), \(F = \{ \vec X = (x,y,z) \text{ tq } x + 2y + z = 0 \}\) et ...
exo7 3652
Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3655
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3656
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3658
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3670
Soient \(F\), \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3823
Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(F_1,\dots,F_n\) des sous-espaces vectorie ...
exo7 4948
Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...