Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 108
- b) Développements limités 138
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
- d) Problèmes d’analyse asymptotique 49
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4372
Soit \(\alpha\in{]0,\frac\pi2[}\) et \(\lambda\in\R\). Chercher un équivalent pou ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4424
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...
exo7 4439
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4446
Soit la suite de terme général \(u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n\).
exo7 4450
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...
exo7 4461
Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...
exo7 4462
Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...
exo7 4463
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...
exo7 4465
On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...
exo7 4477
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive telle que ...
exo7 4478
Montrer que \(n! = \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\frac 1{12n} + O\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\) ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4553
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).
exo7 4558
On pose pour \(x\in\R\) : ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4575
Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).
exo7 4576
Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4673
Montrer que l’ensemble des entiers \(n\) tels que \(2^{n^2} < (4n)!\) est fini ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...
exo7 5091
Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).
exo7 514
Que peut-on dire d’une suite qui vérifie \(\lim_{n\to\infty}nu_n=0\) ?
exo7 5226
Limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5227
Etudier la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 5233
Soit \(u\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite ...
exo7 5240
On pose \(u_1=1\) et, \(\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\). Montrer qu ...
exo7 5253
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!\).
exo7 5254
Soient \(u\) et \(v\) deux suites réelles strictement positives. Pour ...
exo7 5255
Soit \((u_n)\) une suite réelle de limite nulle. Montrer que si ...
exo7 5256
Soit \(u\) la suite définie par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et, ...
exo7 5394
Soit \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) à valeurs dans ...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5427
Déterminer les développements limités à l’ordre demandé au voisinage des points indiqués :
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5429
Etude au voisinage de \(+\infty\) de \(\sqrt{x^2-3}-\sqrt[3]{8x^3+7x^2+1}\).
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5431
Equivalent simple en \(+\infty\) et \(-\infty\) de ...