Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
d) Somme de deux sous-espaces
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme de deux sous-espaces. | |
Somme directe de deux sous-espaces. Caractérisation par l’intersection. | La somme $F+G$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d’un élément de $F$ et d’un élément de $G$ est unique. |
Sous-espaces supplémentaires. | On incite les étudiants à se représenter des espaces supplémentaires par une figure en dimension 2 et 3. |
exo7 5166
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel. Soient ...
exo7 5171
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et \(f\) ...
exo7 5172
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5178
Soient \(u=(1,1,...,1)\) et \(F=\mbox{Vect}(u)\) puis ...
exo7 5182
Soit \(E=\Rr[X]\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. ...
exo7 5185
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) u ...
exo7 5194
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5576
Soient \(F\), \(G\) et ...
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 6871
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
exo7 7410
Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs ...
exo7 7414
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) de ...
exo7 7436
Soit \(E\) un espace affine et \(F\) et \(G\) de ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 893
Soit \(E\) un espace vectoriel.
exo7 919
Soient \(v_1=(0,1,-2,1), v_2=(1,0,2,-1), v_3=(3,2,2,-1), v_4 = (0,0,1,0)\) et ...
exo7 920
On considère les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\), \(v_2=(0,0,1,0)\), ...
exo7 921
Si \(L,M,N\) sont trois sous-espaces vectoriels de \(E\), a-t-on : ...
exo7 922
Soit \(E = \R[X]\) l’espace vectoriel des polynômes. On définit ...
exo7 923
Soit \(E = \Delta^1 (\Rr, \Rr)\) l’espace des fonctions dérivables et ...
exo7 924
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...
exo7 926
Soit \[E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.\] Montrer que l’ensembl ...
exo7 931
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 939
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) une application linéaire ...
exo7 942
Pour des applications linéaires \(f: E\rightarrow F\), \(g: F\rightarrow G\), éta ...
exo7 948
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f\). Montrer que ...
exo7 952
Soit \((u,v)\in (L(E))^{2}\), tels que \(u^{2}=u\) et ...
exo7 957
Soit \(f\in L(E)\) non nul; montrer que \(f\) est injective si et seulement si po ...
exo7 961
Soit \(E\) un \(\C\)–espace vectoriel et ...
exo7 967
Soit \(E\) un espace vectoriel; on note \(i_E\) l’identité sur ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 972
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 973
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 974
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 975
Soit \(E=\Rr[X]\) l’espace vectoriel des polynômes, et \(f:E\rightarrow E\) défin ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
exo7 980
Soient \(\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)\) d ...
exo7 982
On considère dans \(\mathbb{R}^4\), \(F=\mbox{lin}\{a,b,c\}\) et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...