Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
a) Ensemble des polynômes à une indéterminée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathbb{K}[X]$. Combinaison linéaire et produit de polynômes, formule du binôme. | La construction de $\mathbb{K}[X]$ est hors programme. |
Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire. | Ensemble $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$. |
Degré d’une somme, d’un produit. Composition. | Le produit de deux polynômes non nuls est non nul. |
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1357
Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...
exo7 1368
\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...
exo7 1371
Soit \(\mathcal{J}=\left\{ P\in \Zz\left[ X\right] :P\left( 0\right) \in 2 \Zz\right\} .\)
exo7 1380
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 2261
Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...
exo7 2267
En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...
exo7 2277
Soit \(P\in \Zz[x]\).
exo7 2279
Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...
exo7 2296
Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...
exo7 2299
Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...
exo7 2311
Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).
exo7 2457
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2941
Soient \(n,p \in \N^*\) et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3174
Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...
exo7 3176
Soit \(P \in {\Z[X]}\) et \(a,b \in \Z^*\) premiers entre eux tels que ...
exo7 3177
Pour \(A \in { K[X]}\) on note ...
exo7 3180
Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3189
Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...
exo7 3196
Soit \(A \in { K[X]}\) de degré \(> 0\). Montrer que pour tout po ...
exo7 3213
Soient \(A,B,P \in { K[X]}\) avec \(P\) non constant. Montrer que si ...
exo7 3273
Trouver tous les couples \((F,G) \in \bigl({\C(X)}\bigr)^2\) tels que ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3324
Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élém ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3443
Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 3835
Montrer qu’il existe des polynômes \(P_0,\dots,P_n \in \R_n[X]\) tels que : ...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...