Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 4427
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...
exo7 4500
Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...
exo7 4738
Soient \(\vec x,\vec y,\vec z\) trois vecteurs d’un evn \(E\) tels que ...
exo7 4739
Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4755
On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4771
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4812
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...
exo7 4854
Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe ...
exo7 4861
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4864
Dans \({\cal E}_2\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j)\), on considère les troi ...
exo7 4866
Soit \((O,\vec i,\vec j)\) un repère de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 488
Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...
exo7 4889
Soit \(ABC\) un triangle et trois points \(P \in (AB)\), ...
exo7 4890
Soit \(ABC\) un triangle et trois points \(P \in (AB)\), ...
exo7 4893
Soit un triangle \(ABC\), \(A',B',C'\), les milieux des côtés, et ...
exo7 4899
Soit \(ABC\) un triangle. On note : ...
exo7 4903
Soit \(P\) une parabole de foyer \(F\) et de directrice ...
exo7 4905
On donne un cercle \({\cal C}\) de centre \(O\) et ...
exo7 4907
Soient \(D\) une droite et \(F \in D\).
Montrer que pour tout point ...
exo7 4908
Soit \(\cal P\) une parabole de paramètre \(p\) et ...
exo7 4909
On considère une parabole dans le plan euclidien.
exo7 4913
Soient \({\cal E} : \frac {x^2}{4a^2} + \frac {y^2}{4b^2} = 1\), et ...
exo7 4914
Soient \(P\) un point mobile sur \(Ox\), et ...
exo7 4915
Soit \({\cal E}\) une ellipse de foyer \(F\), directrice ...
exo7 4916
Soit \({\cal E}\) un ellipse de centre \(O\) et de dimensions ...
exo7 4922
Soient \(O,A\) deux points distincts du plan. Trouver les points \(M\) tels que ...
exo7 4923
Soient \(A,A'\) deux points distincts et \({\cal C}\) le cercle de diamètre ...
exo7 4924
Soit \(\cal H\) une hyperbole équilatère et \(ABC\) un triangle dont les sommets ...
exo7 4930
Soit \(D\) la droite d’équations ...
exo7 4931
Soit \({\cal P}\) le paraboloïde d’équation \(z= xy\). Montrer que par tout point ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4941
Dans l’espace, soit \(P\) le plan d’équation \(z=0\) et ...
exo7 4942
Dans l’espace, on considère un plan \(P\) et une sphère \(S\). Quel est le lieu d ...
exo7 4944
Soient \({\cal T}\) un torseur et \({\cal P}\) un plan. Déterminer le lieu des po ...
exo7 4946
Soit \({\cal R} = (O,\vec i,\vec j,\vec k)\) un repère orthonormé direct de l’espace. On considère les glisseurs : ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 4949
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).
Quels sont les points ...
exo7 4950
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...
exo7 4952
Pour \(\lambda \in \R\) on considère la droite \(D_\lambda\) d’équation cartésien ...
exo7 4953
Soient \(D,D'\) deux droites distinctes sécantes en \(O\).
On note ...
exo7 4957
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\). ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4960
Trouver les coordonnées des projetés du point \(C(3,4,-2)\) sur les droites définies par les équations :
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