Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Continuité en un point
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité, prolongement par continuité en un point. | La continuité de $f$ au point $a$ de $I$ est définie par la relation $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}f(a)$. |
Continuité à gauche, à droite. Opérations sur les fonctions continues en un point : combinaison linéaire, produit, quotient, composition. |
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
exo7 1223
Étudier la continuité, la dérivabilité, la continuité de la dérivée pour les applications suivantes :
exo7 1226
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) à valeurs dans ...
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1253
Soit \(f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}\) pour ...
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1274
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue telle que \(f(0)=0 .\) ...
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1803
Soit \(f : \R^{2} \rightarrow \R\), définie par ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...
exo7 1809
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles premières, des fonctions suivantes :
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1905
Soit \(f:\Rr\rightarrow\Rr\) continue. Soit \(x_0\in\Rr\). Soit ...
exo7 1906
Soit \(s_n=\Sigma_{k=1}^n1/k\) et \(x_n=\cos (s_n)\). Montrer qu’il n’existe pas ...
exo7 2081
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,4]\) par ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3847
Pour \(x \in {[0,1[}\), on note \(x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}\) le dév ...
exo7 3849
Soient \({f,g} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions continues. On pose pour ...
exo7 3850
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues telles que : ...
exo7 3851
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. On pose ...
exo7 3852
Soient \({f,g}: {[a,b]}\to \R\) continues. On pose ...
exo7 3859
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).
exo7 3861
Soit \(f : \R \to \R\). On dit que \(f\) vérifie la propriété des valeurs intermé ...
exo7 3863
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. Montrer qu’il existe ...
exo7 3864
Soient \(f : D \to \R\) uniformément continue bornée et \(g : \R \to \R\) continu ...
exo7 3866
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue telle que \(f(n) \to +\infty\) lorsq ...
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3868
Trouver toutes les fonctions \(f : {[0,1]} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3870
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), à valeurs dans ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3875
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to {\R}\) croissante telle que ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...