Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 3974
On pose \(f(x) = \sin x - \frac {3x}\pi + \frac {4x^3}{\pi^3}\). Montrer que : ...
exo7 3975
Soit \(a > 0,\ a \ne 1\). On note \(\cal C\) la courbe d’équation : ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3984
Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4030
Montrer que \(\frac1x\ln(\ch x)\) admet en \(+\infty\) un développement limité gé ...
exo7 4036
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4050
Soit \(f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.}\) Montrer que ...
exo7 4055
Intégrer :
exo7 4056
Intégrer les équations suivantes :
exo7 4058
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4059
Soit \(k \in \R\). Résoudre ...
exo7 4060
Résoudre l’équation : \(y' = |x-y|\). Étudier les problèmes de raccordement.
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4062
Résoudre \((E) : 4xy''+2y'+y=0\) sachant que \((E)\) admet deux solut ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4065
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4067
On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4069
On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4075
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)\) et \(x_0\) un réel ...
exo7 4076
Soit \(\lambda \in \C\) et \(\varphi : \R \to \C\) ...
exo7 4077
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' + a(x)y = b(x)\) où \(a,b\) sont des ...
exo7 4079
Soit \(k\in\R^*\) fixé. On considère : ...
exo7 4081
Soit \(f\) continue et intégrable sur \(\R\). On considère l’équation différentie ...
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.