Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dérivées partielles. | |
Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un pavé ouvert du plan. | Dans un énoncé on ne demandera jamais de montrer qu’une fonction est de classe $\mathscr{C}^1$. Utilisation des dérivées partielles premières pour évaluer une petite variation de la valeur d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ découlant de petites variations sur les variables. |
Définition du gradient ; calcul dans un repère orthonormal en coordonnées cartésiennes. Dérivation d’une expression de la forme $t \mapsto f(x(t), y(t))$, la fonction $f$ étant de classe $\mathscr{C}^1$ et les fonctions $x$, $y$ étant dérivables. | On pourra donner sans démonstration l’interprétation graphique du gradient. |
Définition de point critique. Lien avec l’existence éventuelle d’extremum dans le cas d’une fonction définie sur un pavé ouvert et admettant des dérivées partielles. | Toute condition suffisante d’extrémalité est hors programme. Application à l’ajustement affine par les moindres carrés. |
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2638
Calculer les matrices hessiennes des fonctions \(f\) définies par les expressions suivantes sur leur domaine de dé ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2640
Les variables étant notées \(x\) et \(t\), trouver la solution générale ...
exo7 2642
Trouver les points critiques de la fonction \(f\) suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima ...
exo7 2643
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans ...
exo7 2644
Déterminer l’équation du plan tangent à la surface de niveau \[\sin(\pi xy)+\sin(\pi yz) =1,\] au point de coordo ...
exo7 2645
Soit \(\cal C\) la courbe plane d’équation \(f(x,y)=ye^{x}+e^y\sin(2x)=0\).
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2654
On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4136
Calculer les dérivées partielles des fonctions :
exo7 4137
Soit \(f : {\R^3} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4138
Soit \(f(x,y) = \arcsin\left(\frac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)\) et ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4141
Soient \({u,v,f,g} : {\R^2} \mapsto \R\) des fonctions de classe ...
exo7 4142
Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4144
Soient \(f : {\R^3} \mapsto \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4146
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe ...
exo7 4147
Soit \(f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\ne 0\) et ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4152
Déterminer les fonctions \(f : {D \subset {\R^2}} \to \R\) vérifiant :
exo7 4156
Déterminer les fonctions \(f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4157
Trouver les fonctions polynomiales \(f : {\R^2} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4159
Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...
exo7 4161
On pose \(f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)\). Montrer que \(f\) induit un ...
exo7 4163
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^p\) et ...
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4166
Montrer que l’égalité \(2e^{x+y} + y - x = 0\) définit \(y = \varphi(x)\) au vois ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4169
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4191
Chercher les extrémums des fonctions \(f(x,y)\) suivantes :
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...
exo7 4195
Soient dans \(\R^2\) : \(A=(0,a)\), \(B=(b,-c)\) ...