Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Généralités sur les fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble de définition. | On se contente de donner ou de rappeler les définitions dans le cadre des fonctions réelles de la variable réelle. |
Représentation graphique d’une fonction $f$ à valeurs réelles. | Graphes des fonctions $x \mapsto f(x) + a$, $x \mapsto f(a - x)$, $x \mapsto f(ax)$, $x \mapsto af(x)$. ⇌ Utilisation d’une bibliothèque graphique Python. |
Notions d’image et d’antécédent. | |
Parité, périodicité. | Interprétation géométrique de ces propriétés. |
Fonctions majorées, minorées, bornées. Monotonie. Opérations algébriques sur les fonctions. Composition de fonctions. |
Des composées
On considère les fonctions \(f:x\donne x^2, g:x\donne \sqrt{x}\) et ...
Des domaines de définitions
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ...
Des puissances de $-1$
Soit \(f:\Z\dans \R\) définie pour tout entier \(x\) par ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
Décomposée
Soit \(f:x\donne \frac{1}{x^2+1}\) et \(g:x\donne \eu{-x^2}\). Déterminer quatre ...
exo7 107
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans ...
exo7 120
Soient \(f,g\) deux fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 1220
Soit \((f_{n})_{n\in \Nn}\) une suite de fonctions réelles. Montrer qu’il existe ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 185
Soient \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) et \(g : \Rr \rightarrow \Rr\) telles que ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3859
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3869
Trouver toutes les fonctions \(f : {\R} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3874
Soit \(f : \R \to \R\) croissante telle que : ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3882
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) non identiquement nulle telle que : ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3933
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable.
exo7 3941
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3984
Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...
exo7 3985
Soit \(f : {\R^{+*}} \to \R\) convexe et \(g : {\R^{+*}} \to \R\) affine. On su ...
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 482
Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...
exo7 493
Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...
exo7 497
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...