Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 4444
Soit \(S_n = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1k - \frac1n - \ln n\) et ...
exo7 4445
Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...
exo7 4449
Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...
exo7 4455
Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...
exo7 4456
On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4461
Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...
exo7 4462
Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...
exo7 4463
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...
exo7 4464
Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...
exo7 4465
On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...
exo7 4470
Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...
exo7 4471
Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...
exo7 4472
Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4474
Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.
exo7 4476
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...
exo7 4479
Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...
exo7 4481
Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...
exo7 4482
Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.
Étudiez la suite de terme g ...
exo7 4483
Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...
exo7 4484
On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4503
Soit \(\alpha \in \R\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour ...
exo7 4505
Soit \(f_n(x) = n\cos^nx\sin x\).
exo7 4507
Soit \({f_n} : {[0,+\infty[} \to {\R}\), ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4513
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour ...
exo7 4514
On définit une suite de fonctions \({f_n} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) par récurrence : ...
exo7 453
Dans le plan \(xOy\), on porte sur \(Ox\) une suite de points ...
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 455
On considère les nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\). Y a-t-il un nombre rationnel juste avant ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 465
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : ...
exo7 4668
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell \in \R\). La ...
exo7 4669
Comparer \(\lim_{n\to\infty} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k} \right)\) et ...
exo7 4670
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4671
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites vérifiant : ...
exo7 4672
On pose \(u_n = \frac {96\times(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\) et ...
exo7 4673
Montrer que l’ensemble des entiers \(n\) tels que \(2^{n^2} < (4n)!\) est fini ...
exo7 4674
Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...
exo7 4675
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites strictement positives telles que : ...
exo7 4676
Soit \(x\in\R\). Chercher ...
exo7 4677
Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...
exo7 4678
Soit \(u_n = 1 + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt n}\).
exo7 4679
On pose \(u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}\).