Programme de mathématiques MP, MPI
f) Endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Endomorphisme autoadjoint : définition par $u^*=u$. Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable. | |
Caractérisation du caractère autoadjoint par la matrice en base orthonormée. | On mentionne la terminologie « endomorphisme symétrique », tout en lui préférant « endomorphisme autoadjoint ». Notation $\mathscr{S}(E)$. |
Les projecteurs orthogonaux sont les projecteurs autoadjoints. | |
Théorème spectral : si $u$ est un endomorphisme d’un espace euclidien $E$, alors $u$ est autoadjoint si et seulement si $E$ est somme orthogonale des sous-espaces propres de $u$ ou, de manière équivalente, s’il existe une base orthonormée diagonalisant $u$. | Interprétation matricielle : une matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ appartient à $\mathscr{S}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si elle est orthogonalement diagonalisable. |
Etude d'une méthode itérative
Soit \(A \in \mathcal{M}_N(\R)\) une matrice réelle symétrique définie positive et ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1526
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1528
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1529
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1533
Diagonaliser très rapidement la matrice ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1537
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphis ...
exo7 1538
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1540
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien (de dimension finie) et ...
exo7 1541
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Un endomorphisme ...
exo7 1542
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Soit ...
exo7 1548
Soit \(\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})\) une base orthogonal d’un espace euclidien ...
exo7 1549
Soit \(r\) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien \(E\). On dit que ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1558
Quelles sont les isométries vectorielles d’un espace vectoriel euclidien qui sont diagonalisables.
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).
exo7 3764
Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3766
Diagonaliser dans une base orthonormée :
exo7 3768
Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\R^4\) : ...
exo7 3769
Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour ...
exo7 3771
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint. Montrer que ...
exo7 3772
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est aut ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3774
Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3782
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint tel que \(\mathrm{tr}(u) = 0\).
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...
exo7 3788
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...
exo7 3789
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(\lambda,\lambda'\) leurs ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3791
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\in\mathcal{L}(E)\).
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3793
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\).
exo7 3794
Soit \(E\) un espace vectoriel hermitien. Un endomorphisme \(u\in\mathcal{L}(E)\) ...
exo7 3796
Soit \(E\) un espace vectoriel hermitien et \(u\in\mathcal{L}(E)\).
exo7 3799
Soit \(E\) un espace euclidien, \(u\) et \(v\) d ...
exo7 3800
Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de ...