Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3834
Montrer que les applications : ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 3842
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...
exo7 3851
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. On pose ...
exo7 3862
Soit \(I\) un intervalle borné et \(f : I \to \R\) uniformément continue. Montrer ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4080
Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4121
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4162
Soit \(f : {\R^3} \to {\R^3}, {(x,y,z)} \mapsto {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}\) Montrer que ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4194
On considère un vrai triangle \(ABC\) et \(f\) la fonction définie par : ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4482
Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.
Étudiez la suite de terme g ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4527
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to \R\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4691
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On appelle valeur d’adhérence tou ...
exo7 4699
Soit \(h\) croissante de \(\R^+\) dans \(\R^+\), ...
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4717
Soit \(A\) une partie bornée de \(\R\) ayant un seul point d’accumul ...
exo7 4718
Soit \(a \in \R\setminus \Q\) et ...
exo7 4720
Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...
exo7 4722
Soit \((u_n)\) une suite réelle bornée telle que ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4724
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la suite \((\exp(iu_n))\) ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4729
Soient \(U,V\) deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel normé. Montrer que ...
exo7 4730
Soient \(A,B\) deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si ...
exo7 4731
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que ...
exo7 4732
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de ...
exo7 4733
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \(E\). Po ...
exo7 4734
Soit \(A\) une partie non vide et bornée d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4735
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\). Un point ...
exo7 4736
Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et ...