Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 3311
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3313
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3316
Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). On pose pour \(v\in\mathcal{L}(E)\) : ...
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3322
Soient \(H,K\) deux sev d’un ev \(E\) de dimension finie. Montrer que ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3332
Soient \(E,F\) deux ev, \(E\) de dimension finie, et ...
exo7 3333
Soient \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3335
Soit \(E\) de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que : ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3338
Soient \(E\) en ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).
exo7 3339
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3344
Soit \(E\) un \(K\) espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3345
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3347
Soit \(E\) un ev de dimension 3 et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3351
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\). Déterminer le rang de l’endomorphisme de ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3354
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3355
Soit \(f\in \mathcal{L}(E)\) telle que \(f^2 = 0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3375
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) non nulle. Montrer que l’application ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...