Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée d’une fonction. | Notations $f'(x)$, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f(x)\big)$. |
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composée. | Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la dérivée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démontrés à ce stade. Exemples simples de calculs de dérivées partielles. |
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. | Résultats admis à ce stade. |
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction. Tracé du graphe. | Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités. |
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réciproque. Fonction de classe $\mathscr{C}^1$. Dérivées d’ordre supérieur. | La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique. |
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4242
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4321
Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...
exo7 4332
Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...
exo7 4337
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...
exo7 4351
Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4380
Soit \(P\in \C[X]\) de degré \(n\ge 1\). Le but de cet exercice est de prouver qu ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 4856
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4982
Étudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5088
Simplifier les expressions suivantes :
exo7 5091
Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).
exo7 5092
On considère la fonction numérique \(f\) telle que :
...
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5098
Trouver la plus grande valeur de \(\sqrt[n]{n}\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5099
Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5149
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5423
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5473
Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).
exo7 5477
Résoudre l’équation différentielle \((1-x^2)y'-2xy=x^2\) sur chacun des intervalles ...
exo7 5480
On considère l’équation différentielle \((E)\) : ...
exo7 550
Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...
exo7 5537
Trouver le point de la courbe d’équation \(y=\ln x\) en lequel la valeur absolue du rayon de courbure est minimum. ...
exo7 5645
Soient \(a_{i,j}\), \(1\leqslant i,j\leqslant n\), ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...