Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
Calcul d'intégrales — puissances et fractions rationnelles
Calculer les intégrales suivantes.
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Calcul de division euclidienne
Effectuer les divisions euclidiennes des polynômes définis ci-dessous.
Calcul de reste de division euclidienne
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par ...
Divisibilité et racines
Soit \(n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}\). Montrer que ...
Division euclidienne et fractions rationnelles
Soit les polynômes à coefficients réels \(A(X)=X^3+2 X-5\) et \(B(X)=X-1\).
Décomposition d'une fraction rationnelle
Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]
Décomposition en élément simple et racine
Considérons les deux fractions rationnelles \(P\) et \(Q\) suivantes: ...
Décomposition en éléments simples
Calculer la division euclidienne de \(X^5+1\) par \(X^4-2 X^3+X^2\).
Décomposition en éléments simples
Vérifier que le polynôme \(B(X)=X^2-X+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}[X]\). ...
Décomposition en éléments simples
Montrer qu’il existe des réels \(a, b\) et \(c\) tels que, pour tout ...
Décomposition en éléments simples et intégration
On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).
Déterminant de Vandermonde
On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : ...
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Elements simples
Pour chacune des fractions rationnelles, indiquer s’il s’agit d’un élément simple dans \(\mathbb{R}(X)\).
...exo7 103
Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...
exo7 1062
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -2&1&-1 \\ 2&0&2 \end{pmatrix}\).
exo7 1108
On note \(\R_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 1129
Calculer le déterminant ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1271
Soit \(P\in {\Rr}_{n}[X]\) tel que \(P\geq 0\). On pose ...
exo7 1357
Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...
exo7 1368
\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...
exo7 1371
Soit \(\mathcal{J}=\left\{ P\in \Zz\left[ X\right] :P\left( 0\right) \in 2 \Zz\right\} .\)
exo7 1380
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1520
On considère l’application \(u\) suivante : ...
exo7 1572
Soient les polynômes \(P=X^4+X^3-2X+1\) et \(Q=X^2+X+1\) de ...
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1583
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2261
Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...
exo7 2263
Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...
exo7 2264
Pour \(n,m\ge 2\), déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme ...