Programme de mathématiques PC
A - Compléments sur les séries numériques
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Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.
L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Technique de comparaison série-intégrale. | Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction monotone. |
Formule de Stirling : équivalent de $n!$. | La démonstration n’est pas exigible. |
Règle de d’Alembert. | |
Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste. | La transformation d’Abel est hors programme. |
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. | La démonstration n’est pas exigible. |
Critère de D'Alembert
On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1932
Etudier la série de terme général ...
exo7 1933
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1944
En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories
GD: cel ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 2724
Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2726
En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4360
On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4415
Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?
exo7 4416
Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4420
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4422
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...
exo7 4423
L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...
exo7 4424
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...
exo7 4428
Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4437
Soit \(a \in \R\).
exo7 4440
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...
exo7 4441
Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4443
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...
exo7 4448
Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).
exo7 4449
Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...
exo7 4450
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...
exo7 4452
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...
exo7 4455
Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...
exo7 4456
On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4457
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...