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Soin \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) conver ...

Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...

Soit \(f:\R \to \R\) continue, ayant même limite finie \(\ell\) en ...

Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...

Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...

Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...

Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...

Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).

Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...

Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...

Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre  ...

Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme)

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...

Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une suite de polynômes convergeant uniformément sur ...

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...

Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...

Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...

Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.

Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.

Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...

Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...

Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...

Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...

On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...

On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...

On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)

...

Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.

On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...

Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...

Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...

On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...

On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...