Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
d) Théorème du rang
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Forme géométrique du théorème du rang : si $u\in\mathscr{L}(E,F)$ et si $S$ est un supplémentaire de $\operatorname{Ker}u$ dans $E$, alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\operatorname{Im}u$. Théorème du rang : si $E$ est de dimension finie $n$ et $u\in\mathscr{L}(E,F)$, alors $n=\dim\operatorname{Ker}u+\operatorname{rg}(u)$. |
exo7 1021
Montrer que \({f} : {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 1022
Soit \(E\) un \(\Qq\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1023
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire \(f\) sur \(\Rr^2\) telle que ...
exo7 1026
Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer l’équivalence ...
exo7 1027
Soit \(E\) et \(F\) de dimensions finies et ...
exo7 1028
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1029
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1031
Soient \(E_{0},E_{1},...,E_{n}\) \(n+1\) espaces vectoriels sur un même corps com ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1035
Soit \((f,g)\in L(E,F)^{2}\) avec \(E,F\) de dimension finie. On suppose ...
exo7 1036
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f,g)\in L(E)^{2}\) avec ...
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1099
Soient ...
exo7 1102
Même chose avec ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1523
Soit \(f\in\mathrm{End}(\R^{3})\) tel que \(f^{2}=0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2585
Soient \(A\) et \(B\) des matrices non nulles de ...
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 2771
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire ...
exo7 3172
Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
exo7 3173
Soit \(a\in K\) et ...
exo7 3198
Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3333
Soient \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3335
Soit \(E\) de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que : ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3338
Soient \(E\) en ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3345
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3347
Soit \(E\) un ev de dimension 3 et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 3383
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose ...
exo7 3608
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E)\) tel q ...
exo7 3684
Soient \(f_1, \dots, f_p\) \(p\) formes linéaires sur ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...