Parcourir les exercices

\(\Rr^3\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs ...

Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une application ...

Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)

Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...

Un cône d’un espace vectoriel est une partie \(K\) telle que : ...

Soit \(G\) un groupe vérifiant ...

Soient

• \(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...

On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F, G\) deux sous-espaces de ...

Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...

Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.

En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...

Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?

Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...

Les familles suivantes sont-elles libres ?

On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...

Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...

Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...

Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...

On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...

Soit \(P \in { K[X]}\) de degré \(n\). Démontrer que la ...

Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...

Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...

On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...

Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...

Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).

Montrer que si ...

Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...

Étudier la liberté des familles suivantes :

On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.

Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...

Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...

Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...

Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.

Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que pour tout ...

Soient \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(f\circ g \circ f = f\) et ...

Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).

Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...

Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...

Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :

...

Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...

Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...

Soient \(H,K\) deux sev d’un ev \(E\) de dimension finie. Montrer que ...

Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...