Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 3313
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3316
Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). On pose pour \(v\in\mathcal{L}(E)\) : ...
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3322
Soient \(H,K\) deux sev d’un ev \(E\) de dimension finie. Montrer que ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3332
Soient \(E,F\) deux ev, \(E\) de dimension finie, et ...
exo7 3333
Soient \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3335
Soit \(E\) de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que : ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3338
Soient \(E\) en ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).
exo7 3339
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3344
Soit \(E\) un \(K\) espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3345
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3347
Soit \(E\) un ev de dimension 3 et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3351
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\). Déterminer le rang de l’endomorphisme de ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3354
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3355
Soit \(f\in \mathcal{L}(E)\) telle que \(f^2 = 0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3372
Soit \(\alpha \in K\), et \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Étudier l’équation d’inc ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3375
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) non nulle. Montrer que l’application ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...