Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Fonctions de deux variables
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Le but de cette section, dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année, est de familiariser les étudiants avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment avec la « règle de la chaîne », et de développer une vision géométrique des fonctions de deux variables. Le point de vue est donc essentiellement pratique.
Toute extension et tout développement théorique supplémentaire sont hors programme.
- a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues 75
- b) Dérivées partielles 225
- c) Dérivées partielles et composées 80
- d) Extremums 73
Associer une fonction à ses courbes de niveau
On considère les quatre fonctions suivantes :
...
Calcul de dérivées partielles
Une étude des glaciers a montré que la température T à l’instant t (mesuré en jours) à la profondeur \(x\) (mesuré ...
Calcul de dérivées partielles
On pose \(f: \R^2 \to \R\) définie pour tout \((x,y) \in \R^2\) par : ...
Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles au bord du domaine de définition
On considère la fonction \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt{x+5y}\).
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, lignes de niveau et points critiques de $f(x,y)=x^2 y$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Courbes de niveau
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer ses courbes de niveaux (A-F).
- ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si possible donner une représentation graphique.
Domaine, courbes de niveau et continuité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivée partielle via la règle de dérivation composée
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit \(u \colon t \mapsto u(t)\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit la fonction \(V \colon \R^2 \to \R\) définie par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Dérivées partielles, composée et structure d’une fonction
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1769
Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...
exo7 1770
Soient \(k\in {\Rr}^{+*},\) ...
exo7 1788
Pour chacune des fonctions \(f\) suivantes, étudier l’existence d’une limite en ...
exo7 1789
Étudier la continuité des fonctions définies sur \(\R^2\) par ...
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1791
Prolonger par continuité la fonction \({g}:{(\Rr^{2})^{*}}\to{\Rr}\), ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1793
Trouver les fonctions \(f\) continues sur \({\Rr}^{2}\) telles que : ...
exo7 1794
Etudier la continuité sur \(\R^2\) de la fonction suivante :
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 1797
...
exo7 1798
Soit ...
exo7 1799
Soit ...